【２】判別分析

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３．判別分析

　２群以上の母集団から抽出した標本データを得て、いまどの母集団に属するか不明のサンプルデータがあるとする。このサンプルデータがどの母集団に属するか調べる方法に、判別分析がある。判別分析を実施するには、集めた標本がどの母集団に属しているのかをあらかじめ区分けしておく必要がある。区分けする方法に、線形判別式を使用する方法と、マハラノビスの距離を用いる方法がある。

３．１　線形判別式を使用する方法

　多変量データｘ₁･ｘ₂…ｘ_n があるとする。この説明変量ｘ₁･ｘ₂…ｘ_n はいずれも量的データであり、この変量に適当な重みａ₁･ａ₂…ａ_n をつけ目的変量Ｚを得る。

Ｚ＝ａ₁･ｘ₁＋ａ₂･ｘ₂＋…＋ａ_n･ｘ_n＋ａ₀

この時得られる目的変量Ｚが区分わけを示す質的データであるとき、この式を線形判別式という。重回帰式では、説明変量も目的変量も量的データを扱ったが、判別分析においては、説明変量は量的データであるが、得られる目的変量はどの母集団に属するのか示す質的データを扱う。

　いま、Ａ中学校の８人の生徒の英語（ｘ₁）と数学（ｘ₂）の評価があり、この８人の生徒がＢ高校を受験してその合否結果（Ｚ）が分かっているとする。すると、ここに２つの母集団、合格群と不合格群があることになる。

説明変量

英語(ｘ₁)　　数学(ｘ₂)

目的変量（Ｚ）

合　否

１

２

３

４

５

６

７

８

５　　　８

５　　　５

７４

８５

７２

４３

８７

４６

合

否

合

否

合

否

平均

６５

合格した群（１･３･４･７）と不合格の群（２･５･６･８）を区分わけする直線を１本考える。

この直線が、線形判別式となる。この線形判別式が判明すれば、どの母集団に付属するのか不明のサンプルデータの所属を得ることができる。

3.1.1　線形判別式を求める。

　説明変量が２つあるのでこれをｘ₁・ｘ₂ とすると、この判別式を

　　　　Ｚ＝ａ₁･ｘ₁＋ａ₂_･ｘ₂＋ａ₀ とする。

　合格した群をＡ群、不合格の群をＢ群とすると、この判別式Ｚは、２群（Ａ群とＢ群）から最も遠い位置に引かれる必要がある。２群から最も遠い位置に引かれることにより、この判別式は、２群Ａ・Ｂを区分けする最も良い基準線となる。

（１）判別得点を求める

　　　判別得点は、各標本データ点から判別式までの距離で表される。

　　　もとの標本を合格した群と不合格の群に分けて整理すると

NO	説明変量英語(ｘ₁) 数学(ｘ₂)	目的変量（Ｚ）合　否
１３４７	５８７４８５８７	合合合合	A 群
平均	７６
２５６８	５５７２４３４６	否否否否	B 群
平均	５４
全平均	６５

説明変量ｘ₁･ｘ₂は量的データであり、目的変量Ｚは区分を示す質的データである。

通常量的データ間の関係を表すものとしては相関係数があるが、量的データと質的データの関係を表すものとして相関比（η）がある。相関比（η）は

η²＝級間変動÷全変動で与えられる。

それぞれの標本について判別得点を求める。

２群を最もよく分けるには、全変動をＳ_T 級間変動をＳ_Bとするとき、相関比（η²）を最大にするようにする。

全変動Ｓ_Tは、全平均Ｚから各々のデータがどれ位散らばっているかである。

級間変動Ｓ_Bは、Ａ群の平均が全平均からどの位散らばっているかと、Ｂ群の平均が全平均からどの位散らばっているかを合計したものである。

（２）相関比を求める

ｔ＝1.381,－1　で相関比η2は最大値または最小値を持つ。このｔの値を相関比η²に代入するとｔ＝－1の時 η²＝０　となり最小となる。ｔ＝1.381の時 η²＝0.71556　となり最大となる。つまり相関比η²は、ａ₁÷ａ₂＝－1の時最小となり、ａ₁÷ａ₂＝1.381の時最大となる。いま求めようとしているのは、相関比η²を最大とするａ₁･ａ₂であるから、1.381を採用する。

これより求める線形判別式は、Ｚ＝1.381ｘ₁＋ｘ₂－13.286 となる。この線形判別式を使用することにより、データを２群に分けることができる。

実際に判別得点を求めて表にしてみると

判別得点を見ると、合格群は＋　不合格群は－に群分けされていることが分かる。

　　　以上から、グラフを描いてみると

　判別直線を境にして、右側に合格群、左側に不合格群があることが分かる。

また全平均（６、５）を通り判別直線に直行する直線を１本引き、その直線上に各点から降ろした点を見ると、全平均（６、５）を新たな原点と考えると上側（＋側）に合格群、下側（－側）に不合格群がありその距離が判別得点となっていることが分かる。

3.1.2　分散・共分散行列を用いて判別式を求める。（不偏分散を使用する）

（１）説明変数が２個の時

判別式Ｚ＝ａ₁･ｘ₁＋ａ₂･ｘ₂＋ａ₀ を求めるのに分散共分散行列を利用して求める方法がある。いま説明変量がｘ₁･ｘ₂と２つあり、Ａ群･Ｂ群の２群に分かれている。

いまＡ群・Ｂ群が上の様になっているとき

（２）説明変量がｐ個ある時に２Ａ群・Ｂに分けるとき

この時、Ａ群の分散共分散行列をＳ_A、Ｂ群の分散共分散行列をＳ_B　

　　プール後の分散共分散行列をＳとすると

３．２　ボックスＭ検定

　線形判別式を使用して２群を区分わけできるのは、母分散共分散行列が等しい時に限られる。２群の母分散が等しい時には、その判別式は直線になるが、等しくない時には判別式は曲線となる。母分散共分散行列が等しくない時には、マハラノビスの距離による判別を行う必要がある。母分散共分散行列が等しいかどうかの検定に「ボックスＭ検定」がある。

「ボックスＭ検定」

Ａ群・Ｂ群のそれぞれの分散共分散行列をＳ_A・Ｓ_Bとする。またＳ_A・Ｓ_Bのプール後の分散共分散行列をＳとすると

p：説明変量の個数　ｎ_A：Ａ群の標本数ｎ_B：Ｂ群の標本数

自由度　ｐ（ｐ＋１）／２のχ² 分布に漸近的に従う。これを利用して検定を行う。

(1)仮説をたてる

　帰無仮説　Ｈ₀ ：２群の母分散共分散行列は等しい

　対立仮説　Ｈ₁ ：２群の母分散共分散行列は等しくない

(2)検定統計量χ2は自由度ｐ（ｐ＋１）／２のχ² 分布に従う。

(3)有為水準をαとすると

χ² ＞ χ²_p(p+1)/2（α）であれば仮説を棄却する。つまり、２群の母分散共分散行列は等しくない。よってマハラノビスの距離による判別処理をする方が望ましい。

３．３　マハラノビスの距離による判別

3.3.1　マハラノビスの距離

（１）１変量時のマハラノビスの距離

１変量のデータＡ群とＢ群が上の様に分布しているとする。Ａ群のデータは分散の大きいデータ群、Ｂ群のデータは分散の小さいデータ群である。この時所属不明のデータｘ_pがある時、この所属不明のデータｘ_pがＡ群、Ｂ群のどちらに所属するデータであるか調べる

　単純にｘ_pからそれぞれの群の中心までの距離を見ると、明らかにこのｘ_pはＢ群の中心に近い。となっていので、このｘ_pはＢ群のデータであるように思える。しかしＡ群は分散の大きいデータ群であり、Ｂ群は分散の小さいデータ群である。この分散を考慮しないで、単純に距離だけでどちらの群に所属するのかを判断することはできない。この分散を考慮した距離に「マハラノビスの距離」がある。

１変量時のマハラノビスの距離をＤ²とすると、

このように分散を考慮すれば、分散の大きいデータほどマハラノビスの距離は小さくなり、　逆に分散の小さいデータほどマハラノビスの距離は大きくなる。

Ｄ_A²＜Ｄ_B² であればｘpは、Ａ群に近い。Ｄ_A²＞Ｄ_B²であればｘ_pは、Ｂ群に近い。

（２）２変量時のマハラノビスの距離

２変量のデータがＡ群・Ｂ群の２群に分かれているとする。

Ａ群は分散の小さいデータ群、Ｂ群は分散の大きいデータ群とする。この時所属不明のデータｘ_p（ｘ₁,ｘ₂）がある時、このデータｘ_pはＡ群・Ｂ群のどちらに所属するデータであるか調べる。

単純な距離を考えると、ｘ_pからＡ群への距離はであり、ｘ_pからＢ群への距離はである。一見してこのデータｘ_pは、Ａ群に近そうである。しかしＡ群は分散の小さいデータ群であり、Ｂ群は分散の大きいデータ群であるので、分散を考慮しない単純な距離だけでは判断することはできない。次に、分散を考慮したマハラノビスの距離を考えると