【数量化について】
多変量解析の「重回帰分析」「判別分析」「主成分分析」等は、量的データを扱う分析方法であるが、いつも量的データの形で標本を得られるとは限らない。そこで、得られた質的データに適当な数量を与え、質的データを数量化することにより多変量解析が行えるようにすることを「数量化」という。
統計で扱うデータには、「量的データ」と「質的データ」があり、量的データは数値の間隔に意味を持つデータであるが、質的データはその間隔に意味はもたなく他のものと区別したり、順序を示したりするデータである。
量的データ
間隔尺度…絶対原点を持たない尺度データ
比例尺度…絶対原点を持つ尺度データ
質的データ 名義尺度…分類を示すデータで大小関係に意味は持たない
順序尺度…順序関係の大小に意味を持つデータ
通常質的データは計算することができないので、そのまま統計分析をすることはできない。そこで、質的データを目的に合うように最適な数値に置き換えて数量化することにより、多変量的な解析ができるようにするのが数量化であり、「重回帰分析」「判別分析」「主成分分析」に対応するのが、「数量化Ⅰ類」「数量化Ⅱ類」「数量化Ⅲ類」である。
【５】数量化Ⅰ類
数量化Ⅰ類は、量的データを分析する重回帰分析に対応する質的データを分析する方法である。重回帰分析では、量的データである説明変量から、量的データである目的変量を予測した。これに対し数量化Ⅰ類では、アイテム・カデゴリと呼ばれる質的データを得て、この値から量的データである外的基準（目的変量に対応する）を得る方法である。
アイテム（項目）とは質問事項のようなものであり、カテゴリとはその回答のようなものである。
アイテムは、例えば「貴方は英語が好きですか？」のようにアンケートの質問事項のように与えられ、カテゴリは「はい／いいえ」のように分類で与えられる。この質的データであるカテゴリから外的基準と呼ばれる量的データを予測するのが数量化Ⅰ類という分析方法である。
〈１〉予測線形式を求める。
［１］アイテムが１つ、カテゴリが２つの場合を考える。
|
標本Ｎｏ |
外的基準 |
ア イ テ ム |
|
|
カテゴリ１ |
カテゴリ２ |
||
|
１ ２ ｎ |
ｙ1 ｙ2 ｙn |
ｘ11 ｘ12 ｘ1n |
ｘ21 ｘ22 ｘ2n |
いま、外的基準として英語の点数（１０点満点）、アイテムとして「英語は好きですか？」という質問事項、カテゴリとして「はい／いいえ」とする。
|
標本Ｎｏ |
外的基準 |
英語は好きですか？ |
|
|
はい |
いいえ |
||
|
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ |
２ ４ ５ ７ ８ ６ ５ ３ |
ﾚ ﾚ ﾚ ﾚ |
ﾚ ﾚ ﾚ ﾚ |
アンケートをとった結果、該当するカテゴリにﾚ印をつけて、上のような表を得たとする。
次に、カテゴリにおいて、該当があれば「ﾚ」をつけたが、このままでは計算することができないので「該当有り…１」「該当無し…０」と置き換える。この置き換える変数のことを「ダミー変数」と言う。
１…アイテム(i)、カテゴリ(j)で該当有り
ダミー変数（ｘij）
０…アイテム(i)、カテゴリ(j)で該当なし
このダミー変数を使用して、先ほどの表を数量化してみると
|
標本Ｎｏ |
外的基準 ｙ |
英語は好きですか？ |
|
|
はい (ｘ1) |
いいえ(ｘ2) |
||
|
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ |
２ ４ ５ ７ ８ ６ ５ ３ |
０ ０ １ １ １ １ ０ ０ |
１ １ ０ ０ ０ ０ １ １ |
アイテム・カテゴリの結果から、外的基準を求める予測式Ｙを考える。
Ｙ＝ａ1･ｘ1＋ａ2･ｘ1 とすると
予測値は Ｙ1＝ａ1･０＋ａ2･１
Ｙ2＝ａ1･０＋ａ2･１
Ｙ3＝ａ1･１＋ａ2･０
Ｙ4＝ａ1･１＋ａ2･０
Ｙ5＝ａ1･１＋ａ2･０
Ｙ6＝ａ1･１＋ａ2･０
Ｙ7＝ａ1･０＋ａ2･１
Ｙ8＝ａ1･０＋ａ2･１
予測値Ｙiと実測値ｙi とのずれを小さくしたいので、最小２乗法を使って
∑（ｙi－Ｙi）2 を最小にすることを考える。
∑（ｙi－Ｙi）2 =(2-a2)2+(4-a2)2+(5-a1)2+(7-a1)2+(8-a1)2+(6-a1)2+(5-a2)2+(3-a2)2
= 4a12 + 4a22 - 52a1
- 28a2 + 228 ＝Ｇとおく
このＧをａ1ａ2 で偏微分し０とおいて、正規方程式を得ると
よって、予測式Ｙは、Ｙ＝6.5･ｘ11 + 3.5ｘ12 となる。
この式を使用することにより、アンケート結果から外的基準である英語の点数を予測するこ とができる。
［２］アイテムが２つ、カテゴリが２つの時
（１）アイテムが１つの時と同じように最小２乗法で予測式を求める。
今度はアイテムが２つ、英語と数学。カテゴリが２つ、好きと嫌いの場合を考える。
|
標本No |
英語の点数 ｙ |
英 語 |
数 学 |
||
|
好き ｘ11 |
嫌い ｘ12 |
好き ｘ21 |
嫌い ｘ22 |
||
|
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ |
２ ４ ５ ７ ８ ６ ５ ３ |
ﾚ ﾚ ﾚ ﾚ |
ﾚ ﾚ ﾚ ﾚ |
ﾚ ﾚ ﾚ ﾚ |
ﾚ ﾚ ﾚ ﾚ |
これをダミー変数を使用して書くと
|
標本No |
英語の点数 |
英 語 |
数 学 |
||
|
好き |
嫌い |
好き |
嫌い |
||
|
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ |
２ ４ ５ ７ ８ ６ ５ ３ |
０ ０ １ １ １ ０ １ ０ |
１ １ ０ ０ ０ １ ０ １ |
０ １ １ ０ １ １ ０ ０ |
１ ０ ０ １ ０ ０ １ １ |
ここで予測式Ｙを
Ｙ＝ａ11･ｘ11＋ａ12･ｘ12＋ａ21･ｘ21＋ａ22･ｘ22 とする。
アイテムが１つの時と同様にして
∑（ｙi－Ｙi）2 ＝Ｇとして、この式をａ11･ａ12･ａ21･ａ22 で偏微分して０とおき、正規方程式を得る。
Ｇ＝(2-ａ12-ａ22)2
+ (4-ａ12-ａ21)2 + … + (3-ａ12-ａ22)2
＝228-50ａ11-30ａ12-46ａ21-34ａ22+4ａ11･ａ21+4ａ11･ａ22+4ａ12･ａ21+4ａ12･ａ22+4ａ112+4ａ122+4ａ212+4ａ222
ダミー変数間で、ｘ11＋ｘ12＝１ ｘ21＋ｘ22＝１ となっているために、このままではａij を求めることはできない。アイテムが１つの時にはこの問題はなかったが、アイテムが２つ以上になると、この問題は必ず発生する。このため、通常第２アイテム以降の第１カテゴリを０として計算する。
条件 ａi1＝０ （i＝０，１，２，…） としてａijを求める。
ａ21＝０ とすると
４ａ11＋２ａ22 ＝２５
４ａ12＋２ａ22 ＝１５
２ａ11＋２ａ12 ＝２３
２ａ11＋２ａ12＋４ａ22 ＝１７
これを解くと
ａ11 = 7 ａ12 = 4.5
ａ22 = -1.5
よって予測式は
Ｙ = 7･ｘ11 + 4.5･ｘ12 - 1.5･ｘ22 と求められる。
（２）行列を使用して、予測式を求める。
いま、各カテゴリについて行列を作成し、Ｄとすると
ｘ11 ｘ12 ｘ21 ｘ22 Ｙ
これをみると、各行がそのまま正規方程式の係数になっていることが分かる。これから
４ａ11＋２ａ21＋２ａ22 ＝２５
４ａ12＋２ａ21＋２ａ22 ＝１５
２ａ11＋２ａ12＋４ａ21 ＝２３
２ａ11＋２ａ12＋４ａ22 ＝１７
の方程式を得て、ａ21＝０として、ａijを得ることができる。
（３）行列を使用して、予測式を求める。
（２）の方法では、行列から正規方程式を得てａ21＝０として、方程式を解きその係数ａijを求めたが、最初に行列のａ21成分を取り除いたダミー行列を考えて、直接ａijを 求める。
この時、Ｘ
は、 Ｘ＝（Ｄ’･Ｄ）-1･Ｄ’･Ｙ で求めることができる。
一般の場合でも、第２アイテム以降の第１カテゴリを除いた行列から、線形予測式の係数を求めることができる。
〈２〉カテゴリ数量の基準化
通常線形予測式を求めるにあたり、第２アイテム以降の第１カテゴリに対応する数量
ａi1 ＝０ （i=2,3…）として求めているので、第２アイテム以降の第１カテゴリ
係数は常に０となる。そこで各アイテム内のカテゴリ数量が０になるようにカテゴリ数量を変換する。これをカテゴリ数量の基準化という。こうすると、第２アイテム以降の第１カテゴリの係数を他のものと同じように得ることができる。
|
標本No |
英 語 |
数 学 |
実測値(ｙ) 英語の点数 |
予測値(Ｙ) 英語の点数 |
||
|
好き |
嫌い |
好き |
嫌い |
|||
|
１ ２ ３ ４ ５ | ||||||